12 个小球

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缘起

今天有个朋友问了一个思考题， 我一开始以为不是什么玄奥的题， 也就短短的思考了一会， 便脱口而出， 然后却被连连打脸。 题目的内容如下：

一共有12个球， 其中有一个球的重量与其他的不一样， 假如给你一只天平， 你怎么在秤量次数不超过三次的条件下找出那个重量不一样的球

我的思路

我是这样想的一般这种称量， 划分， 猜数的思路都差不多， 就是等分呗～ 然后就这样继续思考了下去：

1. 将12个球分成两份， 然后称量一次， 找出那个轻的一堆
2. 将6个球分成两份，然后称量一次，找出那个轻的一堆
3. 将三个球中随机拿出两个来进行称量， 会出现如下两种情况:
    3.1 第一个球 和 第二个球一样重， 那么第三个球就是异常球
    3.2 第一个球 和 第二个球不一样中， 那么异常球就是这两个中的那个轻的

然后我非常高兴的把答案丢了出去， 然后被打脸了， 因为出于我的粗心， 我误解了题目， 题目中并没有提到 那个异常球 比正常球 轻 或 重， 而我上面的思路就默认这个条件已知了。 所以我继续思考。

想了十来分钟， 还是没有想出答案， 于是我上网查了下， 发现这个题并不是我想的那么简单

网上大神的思路

由于 题目要求找出那个异常的球， 但是这个球是比正常的球要重还是轻？ 这个条件没有给出， 所以我们在找出那个异常的球之前，要找出这其中异常的球是比正常的球重？ 还是轻？

我看了网上大神的思路，在比较球重量的同时，还要根据比较结果得出 异常球是轻是重的信息， 大致看了下思路， 瞬间觉得自己明亮了很多， 所以决定回来再详细的理顺下。

以 w(v) 函数表示 v 的重量
S1-a 表示 S1 组中随机找出一个球 命名为S1-a S1-3 表示 S1 组重随机找出三个球 命名为S1-3(组)

1: 将12个球随机分成三分，比如S1, S2, S3

2: 将 S1 和 S2 放在天平上称量，会出现如下三种情况 .................................................................... (第一次称)
    2.1: w(S1) = w(S2) 
        2.1.1: w(S1) = w(S2) 说明 异常球在S3上, 且 S1 和 S2 的球都是属于正常的
        
        2.1.2: 在S1中随机拿出三个球S1-3 与S3中随机的三个球S3-3比较, 则会出现下面三种结果 ................................. (第二次称)
            2.1.2.1: w(S1-3) > w(S3-3) 说明异常球比正常球轻, 因为2.1.1说了异常球在S3中，且12个球中只有一个异常球
                2.1.2.1.1: 在S3-3中随机抽出两个球 S3-3-a 和 S3-3-b 进行称量会得到如下三种结果 .......................... (第三次称)
                    2.1.2.1.1: w(S3-3-a) > w(S3-3-b) 说明 S3-3-b 就是异常球 ....................................... (得出结论)
                    2.1.2.1.2: w(S3-3-a) < w(S3-3-b) 说明 S3-3-a 就是异常球 ....................................... (得出结论)
                    2.1.2.1.3: w(S3-3-a) = w(S3-3-b) 说明 S3-3 中出了 a 和 b 之外剩下的那个球是异常球 ................. (得出结论)
            
            2.1.2.2: w(S1-3) < w(S3-3) 说明异常球比正常球重, 因为2.1.1说了异常球在S3中，且12个球中只有一个异常球
                2.1.2.2.1: 在S3-3中随机抽出两个球 S3-3-a 和 S3-3-b 进行称量会得到如下三种结果 .......................... (第三次称)
                    2.1.2.2.1: w(S3-3-a) > w(S3-3-b) 说明 S3-3-a 就是异常球 ....................................... (得出结论)
                    2.1.2.2.2: w(S3-3-a) < w(S3-3-b) 说明 S3-3-b 就是异常球 ....................................... (得出结论)
                    2.1.2.2.3: w(S3-3-a) = w(S3-3-b) 说明 S3-3 中出了 a 和 b 之外剩下的那个球是异常球 ................. (得出结论)
            
            2.1.3.3: w(S1-3) = w(S3-3) 说明异常球为 S3中除了 S3-3 之外的那个球 ....................................... (得出结论)
    
    2.2: w(S1) > w(S2)
        2.2.1: w(S1) > w(S2) 说明 S3 一定全都是正常球
        
        2.2.2: 将S1随机分成 S1-a 和 S1-3 两组
        
        2.2.3: 将S2随机分成 S2-a 和 S2-3 两组
        
        2.2.4: 将S3随机分成 S3-a 和 S3-3 两组
        
        2.2.5: 称量比较 w(S1-a + S2-3) 和 w(S2-a + S3-3) 的大小 ................................................... (第二次秤)
            2.2.5.1: w(S1-a + S2-3) < w(S2-a + S3-3), 结合 w(S1) > w(S2) 可以得出 S2-3存在异常球且异常球轻 ........... (参见推理1)
            2.2.5.2: 称量比较 w(S2-3-a) 和 w(S2-3-b) 会有如下结果 .................................................. (第三次秤)
                2.2.5.2.1: w(S2-3-a) < w(S2-3-b) 则 S2-3-a 为异常球 .............................................. (得出结论)
                2.2.5.2.2: w(S2-3-a) > w(S2-3-b) 则 S2-3-b 为异常球 .............................................. (得出结论)
                2.2.5.2.3: w(S2-3-a) = w(S2-3-b) 则 S2-3-c 为异常球 .............................................. (得出结论)

            2.2.5.3: w(S1-a + S2-3) > w(S2-a + S3-3), 结合 w(S1) > w(S2) 可以得出 S1-a和S2-a中存在异常球 ............ (参见推理2)
            2.2.5.4: 称量比较 w(s1-a) 和 w(S3-a) 可以得出 .......................................................... (第三次秤)
                2.2.5.4.1: w(S1-a) > w(S3-a) 则 S1-a 为异常球  .................................................... (得出结论)
                2.2.5.4.2: w(S1-a) < w(S3-a) 则 S1-a 为异常球  .................................................... (得出结论)
                2.2.5.4.3: w(S1-a) = w(S3-a) 则 S2-a 为异常球  .................................................... (得出结论)

            2.2.5.5: w(S1-a + S2-3) = w(S2-a + S3-3), 结合 w(S1) > w(S2) 可以得出 S1-3中存在异常球且异常球重 
            2.2.5.6: 称量比较 w(S1-3-a) 和 w(S1-3-b) 可以得出  ..................................................... (第三次秤)
                2.2.5.6.1: w(S1-3-a) > w(S1-3-b) 则 S1-3-a 为异常球  .............................................. (得出结论)
                2.2.5.6.1: w(S1-3-a) < w(S1-3-b) 则 S1-3-b 为异常球  .............................................. (得出结论)
                2.2.5.6.1: w(S1-3-a) = w(S1-3-b) 则 S1-3-c 为异常球  .............................................. (得出结论
    
    2.3: w(S2) > w(S1)
        与2.2的推理类似

下面是推理1 (根据2.2中条件 和 2.2.5.1 可以得出什么呢？)

  • (1) w(S1) > w(S2)
  • (2) S1 = S1-a + S1-3
  • (3) S2 = S2-a + S2-3
  • (4) w(S1-a + S2-3) < w(S2-a + S3-3)
  • (5) w(S1-a + S1-3) > w(S2-a + S2-3) ((1), (2), (3)得出)
  • (6) S1-a, S1-3, S2-a, S2-3 必存在一组里面有异常球
  • (7) 假设 S1-a 异常, 可由(4)得出 w(S1-a) < w(S2-a), 由(5)得出 w(S1-a) > w(S2-a) 彼此矛盾，所以假设不成立
  • (8) 假设 S2-a 异常, 可由(4)得出 w(S1-a) < w(S2-a), 由(5)得出 w(S1-a) > w(S2-a) 彼此矛盾，所以假设不成立
  • (9) 假设 S1-3 异常, 与(4) w(S1-a + S2-3) = w(S2-a + S3-3) 矛盾，所以假设不成立
  • (10) 最终结论是 S2-3 存在异常球, 且由(4)得出 S2-3 < S3-3 即异常球比正常球轻

下面是推理2 (根据2.2中条件 和 2.2.5.1 可以得出什么呢?)

  • (1) w(S1) > w(S2)
  • (2) S1 = S1-a + S1-3
  • (3) S2 = S2-a + S2-3
  • (4) w(S1-a + S2-3) > w(S2-a + S3-3)
  • (5) w(S1-a + S1-3) > w(S2-a + S2-3) ((1), (2), (3)得出)
  • (6) S1-a, S1-3, S2-a, S2-3 必存在一组里面有异常球
  • (7) 假设 S1-a 异常, 可由(4)得出 w(S1-a) > w(S2-a), 由(5)得出 w(S1-a) > w(S2-a) 假设成立
  • (8) 假设 S2-a 异常, 可由(4)得出 w(S1-a) > w(S2-a), 由(5)得出 w(S1-a) > w(S2-a) 假设成立
  • (9) 假设 S1-3 异常, 与(4) w(S1-a + S2-3) = w(S2-a + S3-3) 矛盾，所以假设不成立
  • (10) 假设 S2-3 异常, 可由(4) 得出w(S2-3) > w(S3-3), 可由(5) 得出w(S1-3) > w(S2-3), 但是S1-3与S3-3又相等，互相矛盾，所以假设不成立
  • (10) 最终结论是 S1-a 和 S2-a 都可能为异常球

总结

这个题，有几点可以总结：

  • 在没有足够思考的前提下，不要怀疑出题者。
  • 做事之前要搞明白 手里有什么， 要做什么， 达到一个什么样的结果？
  • 戒骄戒躁戒虚荣。
  • まだまだだね